DeepSeek与ChatGPT算法对决：解构《算法导论》25.3第3题

2025年9月24日 互联网

一、问题背景与核心考点解析

《算法导论》25.3节聚焦动态规划中的”最优二叉搜索树”问题，第3题要求证明：给定有序键值序列(k_1 < k_2 < … < k_n)和对应的概率分布(p_1, p_2, …, p_n)（搜索概率）及(q_0, q_1, …, q_n)（未命中概率），存在一个最优二叉搜索树，其根节点必然包含某个键(k_r)（(1 \leq r \leq n)），且左右子树分别对应子序列的最优解。

该问题的核心在于：

  1. 动态规划子结构证明：需通过数学归纳法验证最优解的分解特性
  2. 概率权重处理：正确计算包含根节点后的期望搜索代价
  3. 边界条件覆盖：处理(q_0)（空树概率）的特殊情况

二、模型解题表现对比

1. 算法理解深度

DeepSeek：

  • 准确识别问题类型为”带权有序树的动态规划”
  • 完整复现了书中推导的递推公式：
    [
    e[i,j] = \sum{r=i}^j p_r + \sum{s=i-1}^j qs \quad \text{(期望代价)}
    ]
    [
    w[i,j] = e[i,j] + \sum    {k=i}^{j-1} w[i,k] + w[k+1,j] \quad \text{(子树权重)}
    ]
  • 指出关键证明步骤需构造辅助数组(root[i,j])记录最优根节点

ChatGPT：

  • 初期误将问题归类为”普通二叉搜索树构建”
  • 后续修正后能给出正确递推式，但遗漏了(q_0)的边界处理
  • 证明逻辑存在跳跃，未明确说明如何从(w[i,j])推导出根节点存在性

2. 代码实现能力

DeepSeek示例代码：

  1. def optimal_bst(p, q, n):
  2.     e = [[0]*(n+2) for _ in range(n+2)]
  3.     w = [[0]*(n+2) for _ in range(n+2)]
  4.     root = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]
  6.     for i in range(1, n+1):
  7.         e[i][i-1] = q[i-1]
  8.         w[i][i-1] = q[i-1]
  10.     for l in range(1, n+1):  # 子序列长度
  11.         for i in range(1, n-l+2):
  12.             j = i + l - 1
  13.             e[i][j] = float('inf')
  14.             w[i][j] = w[i][j-1] + p[j] + q[j]
  15.             for r in range(i, j+1):
  16.                 t = e[i][r-1] + e[r+1][j] + w[i][j]
  17.                 if t < e[i][j]:
  18.                     e[i][j] = t
  19.                     root[i][j] = r
  20.     return root

代码特点：

  • 严格遵循书中三维表格填充法
  • 正确处理了(e[i][i-1])的初始条件
  • 返回的root数组可直接用于构建树结构

ChatGPT示例代码：

  1. def find_optimal_root(p, q):
  2.     n = len(p)
  3.     # 简化版实现，缺少完整动态规划表
  4.     total_p = sum(p)
  5.     total_q = sum(q)
  6.     # 错误假设：根节点概率与总概率成正比
  7.     return p.index(max(p))  # 逻辑不严谨

问题点：

  • 未构建完整的动态规划表
  • 根节点选择策略错误（应基于最小期望代价而非最大概率）
  • 缺少对(q_0)到(q_n)的权重计算

3. 边界条件处理

DeepSeek：

  • 明确指出当(i > j)时，(e[i][j] = q[j])
  • 在递推开始前初始化所有(e[i][i-1])值
  • 代码中通过range(1, n-l+2)确保子序列索引合法

ChatGPT：

  • 遗漏了(i=1, j=0)时的(e[1][0]=q_0)初始化
  • 在计算(w[i][j])时未包含(q_j)项
  • 导致当输入概率分布包含零值时计算错误

三、优化建议与实用启示

1. 对开发者的建议

  • 动态规划问题处理：

    • 始终先构造状态转移表（如(e[i][j])和(w[i][j])）
    • 明确初始条件（如空树的(q_i)处理）
    • 使用记忆化搜索避免重复计算

  • 模型使用策略：

    • DeepSeek更适合需要严格数学证明的场景
    • ChatGPT可作为快速获取算法框架的起点
    • 复杂问题建议分步提问：”先解释递推关系，再给出代码框架，最后验证边界条件”

2. 对企业算法团队的启示

  • 模型选型标准：

    • 学术研究：优先选择能提供完整证明链的模型
    • 工程实现：选择代码结构清晰、异常处理完善的模型
    • 混合使用：用ChatGPT生成初版，DeepSeek进行验证优化

  • 测试用例设计：

    1. # 边界测试用例
    2. p_test = [0.15, 0.10, 0.05, 0.10, 0.20]
    3. q_test = [0.05, 0.10, 0.05, 0.05, 0.05, 0.10]  # 注意q_0到q_5
    4. assert optimal_bst(p_test, q_test, 5)[1][5] in range(1,6)

四、结论

在《算法导论》25.3第3题的解决过程中，DeepSeek展现出：

  1. 更精确的算法理论理解
  2. 更完整的代码实现能力
  3. 更严格的边界条件处理

而ChatGPT虽然能快速提供算法框架，但在复杂数学证明和细节实现上存在不足。建议开发者根据具体需求选择合适的模型，对于学术研究或高可靠性系统开发，DeepSeek是更优选择；对于快速原型开发或简单算法实现，ChatGPT可提升效率。未来模型优化方向应着重提升：

  • 动态规划问题的形式化证明能力
  • 多维度边界条件的自动检测
  • 代码与数学公式的双向验证机制
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