一、线性回归：结构化数据预测的基石模型

1.1 数学原理与优化目标

线性回归通过最小化残差平方和（RSS）建立特征与连续目标变量的线性映射关系，其损失函数定义为：
$ L (θ) = \frac{1}{2 m} \sum < e m > {i = 1}^{m} (h < / e m > θ (x^{(i)}) - y^{(i)})^{2} L(\theta) = \frac{1}{2m}\sum{i=1}^m (h\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $
其中$h_\theta(x)=\theta^Tx$为假设函数，$\theta$为参数向量。该问题存在解析解（正规方程）：
$ θ = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y \theta = (X^TX)^{-1}X^Ty $
当特征维度较高时，解析解计算复杂度达$O(n^3)$，此时梯度下降法成为更优选择。

1.2 正则化技术与过拟合控制

L1正则化（Lasso）通过引入$\ell1$范数惩罚项实现特征选择：
$ J (θ) = \frac{1}{2 m} \sum (h J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum (h$ \theta-y)^2 + \lambda\sum|\thetaj|

L2正则化（Ridge）则通过$\ell_2$范数约束参数幅度：
$ J (θ) = \frac{1}{2 m} \sum (h J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum (h$ \theta-y)^2 + \lambda\sum\theta_j^2

工业实践中，弹性网络（Elastic Net）结合两者优势，在特征维度远大于样本量时表现优异。

1.3 典型应用场景

零售销量预测：某电商平台通过融合历史销量、促销活动、天气数据等20+维度特征，构建时序线性回归模型，实现SKU级销量预测，库存周转率提升18%
金融风控：基于用户征信数据、消费行为等结构化信息，建立违约概率预测模型，辅助信贷审批决策
能源消耗预测：结合历史用电量、温度、节假日等因子，优化电网负荷调度方案

二、逻辑回归：二分类问题的概率建模框架

2.1 Sigmoid函数与概率输出

逻辑回归通过Sigmoid函数将线性输出映射至(0,1)区间：
$ h < e m > θ (x) = \frac{1}{1 + e^{- θ^{T} x}} < / e m > h\theta(x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}} $
其损失函数采用对数似然形式：
$ J (θ) = - \frac{1}{m} \sum [y^{(i)} \log (h J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum[y^{(i)}\log(h$ \theta)+(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta)]

该形式便于梯度计算，且输出具有明确概率解释性。

2.2 多分类扩展与Softmax函数

对于K分类问题，Softmax函数将原始输出转换为概率分布：
$ P (y = k ∣ x; θ) = \frac{e^{θ < e m > k^{T} x}}{\sum < / e m > {j = 1}^{K} e^{θ_{j}^{T} x}} P(y=k|x;\theta) = \frac{e^{\thetak^Tx}}{\sum{j=1}^K e^{\theta_j^Tx}} $
某医疗AI系统通过融合CT影像特征、患者临床数据等128维特征，采用Softmax分类器实现肺结节良恶性判别，AUC达到0.92。

2.3 工业级优化实践

特征工程：通过WOE编码处理类别特征，提升模型收敛速度
类别不平衡处理：采用过采样（SMOTE）与代价敏感学习结合策略
模型解释：计算特征SHAP值，量化各因子对预测结果的贡献度

三、决策树：可解释性建模的典范

3.1 树构建算法与分裂准则

ID3算法采用信息增益进行特征选择：
$ G a i n (D, a) = E n t (D) - \sum < e m > {v = 1}^{V} \frac{∣ D^{v} ∣}{∣ D ∣} E n t (D^{v}) < / e m > Gain(D,a) = Ent(D) - \sum{v=1}^V \frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) $
CART树则使用基尼指数：
$ G i n i (D) = 1 - \sum Gini(D) = 1 - \sum$ {k=1}^K p_k^2

某金融反欺诈系统通过决策树模型，从交易金额、时间、设备指纹等30+维度中自动识别风险规则，误报率降低至0.3%。

3.2 过拟合控制策略

预剪枝：通过最大深度、最小样本分裂数等参数限制树生长
后剪枝：采用代价复杂度剪枝（CCP），在验证集上评估剪枝效果
集成方法：随机森林通过Bootstrap采样与特征随机选择，显著提升泛化能力

四、支持向量机：高维空间的模式识别利器

4.1 核技巧与最大间隔原理

SVM通过核函数隐式实现特征空间映射，RBF核函数形式为：
$ K (x_{i}, x_{j}) = \exp (- γ ∣ ∣ x_{i} - x_{j} ∣ ∣^{2}) K(x_i,x_j) = \exp(-\gamma||x_i-x_j||^2) $
某文本分类系统采用线性SVM处理TF-IDF特征，在千万级语料上实现98%准确率，推理速度比深度学习模型快3个数量级。

4.2 参数调优实践

惩罚系数C：控制分类边界与误分类的权衡，通过网格搜索确定最优值
核参数γ：RBF核中该参数影响模型复杂度，建议使用交叉验证进行选择
多分类策略：采用”一对多”（OvR）或”一对一”（OvO）方法扩展至多分类场景

五、神经网络：深度学习的基石架构

5.1 前向传播与反向传播

以全连接网络为例，前向传播过程为：
$ a^{(l)} = σ (W^{(l)} a^{(l - 1)} + b^{(l)}) a^{(l)} = \sigma(W^{(l)}a^{(l-1)} + b^{(l)}) $
反向传播通过链式法则计算梯度：
$ \frac{\partial J}{\partial W^{(l)}} = δ^{(l)} (a^{(l - 1)})^{T} \frac{\partial J}{\partial W^{(l)}} = \delta^{(l)}(a^{(l-1)})^T $
其中$\delta^{(l)}$为第l层误差项。

5.2 现代网络架构演进

CNN：通过局部连接与权重共享实现图像特征提取，ResNet引入残差连接解决梯度消失问题
RNN：LSTM单元通过输入门、遗忘门、输出门控制时序信息流动，在NLP任务中表现优异
Transformer：自注意力机制实现并行化序列建模，BERT等预训练模型推动NLP技术突破

六、集成学习：模型融合的协同效应

6.1 Bagging与Boosting对比

特性	Bagging（如随机森林）	Boosting（如XGBoost）
样本选择	有放回抽样	迭代加权采样
基学习器关系	独立并行训练	串行依赖训练
偏差-方差权衡	降低方差	降低偏差

6.2 工业级应用案例

某电商推荐系统采用Stacking集成方法：

基模型层：GBDT、XGBoost、LightGBM分别建模
元模型层：以基模型输出作为特征，训练逻辑回归进行最终预测
该方案相比单一模型，点击率提升12%，转化率提升8%。

七、模型选择的技术决策框架

7.1 关键考量因素

数据规模：小样本场景优先选择SVM、逻辑回归等强先验模型
特征类型：结构化数据适合树模型，非结构化数据需深度学习
可解释性需求：金融、医疗等领域需优先保证模型可解释性
计算资源约束：实时推理场景需权衡模型复杂度与性能

7.2 自动化机器学习实践

某云平台提供的AutoML服务，通过以下流程实现模型自动选择：

数据质量评估与特征工程
候选模型池初始化（包含10+种经典算法）
基于贝叶斯优化的超参调优
模型性能评估与集成选择
该方案使模型开发周期从周级缩短至天级，同时保证95%+的基准模型性能。

本文通过系统梳理机器学习经典模型的技术演进脉络，结合工业实践案例与性能对比数据，为开发者提供从理论到落地的完整方法论。在实际业务中，建议根据具体场景特点，结合模型性能、可解释性、开发维护成本等维度进行综合决策，必要时采用集成学习或自动化机器学习技术实现最优解。

从线性回归到Transformer：机器学习经典模型演进与技术实践