聚类分析技术详解：从基础到Medoids分类实践

2026年1月21日 互联网

聚类分析技术详解：从基础到Medoids分类实践

聚类分析作为无监督学习的核心方法，通过计算样本间相似性将数据划分为多个同质群组。这种技术广泛应用于客户分群、异常检测、图像分割等领域，其本质是通过数学手段发现数据中隐含的自然结构。本文将从基础原理出发，结合实际代码演示，系统讲解如何确定最佳聚类数以及Medoids分类法的实现细节。

一、聚类分析核心原理与数学基础

1.1 距离度量与相似性计算

聚类效果高度依赖距离度量的选择，常见方法包括：

  • 欧氏距离：适用于连续型数据，计算样本间直线距离
  • 曼哈顿距离：对异常值更鲁棒，适用于高维稀疏数据
  • 余弦相似度：专注于方向差异，常用于文本向量

在R语言中，可通过dist()函数快速计算距离矩阵：

  1. # 生成示例数据
  2. data <- matrix(rnorm(100), ncol=2)
  3. # 计算欧氏距离矩阵
  4. dist_matrix <- dist(data, method="euclidean")

1.2 聚类目标函数优化

典型聚类算法通过最小化组内差异实现优化，K-means算法的损失函数可表示为：
<br>J=∑<em>i=1k∑</em>x∈Ci∣x−μi∣2<br><br>J = \sum<em>{i=1}^{k}\sum</em>{x\in C_i}|x-\mu_i|^2<br>
其中$\mu_i$为第i个簇的中心点，该目标函数促使同类样本尽可能接近簇中心。

二、确定最佳聚类数的科学方法

2.1 组内平方和曲线法

通过绘制不同K值对应的组内平方和（Within-Cluster Sum of Squares, WCSS），寻找”肘部点”作为最佳聚类数。实现步骤如下：

  1. # 计算不同K值的WCSS
  2. calculate_wcss <- function(data, max_k=10) {
  3.   wcss <- numeric(max_k)
  4.   for(k in 1:max_k) {
  5.     km <- kmeans(data, centers=k)
  6.     wcss[k] <- km$tot.withinss
  7.   }
  8.   return(wcss)
  9. }
  11. # 可视化曲线
  12. plot_elbow <- function(wcss) {
  13.   plot(1:length(wcss), wcss, type="b", 
  14.        xlab="聚类数目(K)", ylab="组内平方和(WCSS)",
  15.        main="聚类数选择肘部图")
  16. }
  18. # 使用示例
  19. set.seed(123)
  20. sample_data <- matrix(rnorm(200), ncol=2)
  21. wcss_values <- calculate_wcss(sample_data)
  22. plot_elbow(wcss_values)

2.2 轮廓系数法

该方法同时考虑类内紧密度和类间分离度，计算每个样本的轮廓系数：
<br>s(i)=b(i)−a(i)maxa(i),b(i)<br><br>s(i) = \frac{b(i)-a(i)}{\max{a(i),b(i)}}<br>
其中$a(i)$为样本i到同簇其他样本的平均距离，$b(i)$为到最近异簇样本的平均距离。R语言实现：

  1. library(cluster)
  2. sil_scores <- numeric(9) # 测试K=2到10
  3. for(k in 2:10) {
  4.   km <- kmeans(sample_data, centers=k)
  5.   sil <- silhouette(km$cluster, dist(sample_data))
  6.   sil_scores[k-1] <- mean(sil[,3])
  7. }
  8. plot(2:10, sil_scores, type="b", 
  9.      xlab="聚类数目", ylab="平均轮廓系数")

三、Medoids周围分类法深度解析

3.1 算法原理与优势

Medoids分类法（PAM算法）通过实际数据点作为中心点，相比K-means具有以下优势：

  • 对异常值更鲁棒
  • 适用于非欧氏距离度量
  • 中心点始终是实际数据样本

3.2 完整实现流程

  1. 初始化阶段：随机选择K个Medoids
  2. 分配阶段：将每个点分配到最近的Medoid
  3. 更新阶段：对每个簇寻找能最小化总距离的新Medoid
  4. 迭代：重复2-3步直到收敛

R语言实现示例：

  1. library(cluster)
  2. # 生成非对称分布数据
  3. set.seed(42)
  4. data <- rbind(
  5.   matrix(rnorm(100, mean=0, sd=0.3), ncol=2),
  6.   matrix(rnorm(100, mean=5, sd=0.3), ncol=2),
  7.   matrix(rnorm(100, mean=10, sd=0.3), ncol=2)
  8. )
  10. # 执行PAM算法
  11. pam_result <- pam(data, k=3)
  13. # 可视化结果
  14. plot(data, col=pam_result$clustering, 
  15.      pch=19, main="PAM聚类结果")
  16. points(pam_result$medoids, col=1:3, pch=17, cex=2)
  17. legend("topright", legend=c("簇1","簇2","簇3","Medoid"),
  18.        col=c(1,2,3,1:3), pch=c(19,19,19,17))

3.3 算法复杂度分析

PAM算法的时间复杂度为$O(k(n-k)^2)$，当数据规模超过10,000时建议使用CLARANS等改进算法。对于大规模数据，可考虑以下优化策略：

  • 采样预处理：先对数据抽样再聚类
  • 距离缓存：存储已计算的距离
  • 并行计算：分解距离计算任务

四、实际应用中的关键考量

4.1 数据预处理要点

  • 标准化处理：使用scale()函数消除量纲影响
  • 异常值检测：通过箱线图或DBSCAN初步过滤
  • 降维处理：对高维数据先进行PCA或t-SNE
  1. # 完整预处理流程示例
  2. preprocess_data <- function(raw_data) {
  3.   # 去除缺失值
  4.   clean_data <- na.omit(raw_data)
  5.   # 标准化处理
  6.   scaled_data <- scale(clean_data)
  7.   # 降维处理（可选）
  8.   if(ncol(scaled_data) > 10) {
  9.     pca <- prcomp(scaled_data, scale.=FALSE)
  10.     scaled_data <- pca$x[,1:10]
  11.   }
  12.   return(scaled_data)
  13. }

4.2 业务场景适配建议

不同业务场景对聚类算法有特定要求：

  • 客户分群：优先选择K-means++初始化
  • 异常检测：设置较小的K值配合DBSCAN
  • 图像分割：考虑基于密度的聚类方法

五、性能优化与效果评估

5.1 加速计算技巧

  • 使用Rcpp编写关键距离计算部分
  • 采用近似最近邻搜索（ANN）库
  • 分布式计算框架适配

5.2 效果评估指标

除WCSS和轮廓系数外，还可考虑：

  • DB指数：类内距离与类间距离的比值
  • Calinski-Harabasz指数：类间离散度与类内离散度的比值
  1. # 计算DB指数
  2. db_index <- function(data, clusters) {
  3.   library(fpc)
  4.   return(db(data, as.integer(clusters))$DB)
  5. }
  7. # 计算CH指数
  8. ch_index <- function(data, clusters) {
  9.   library(fpc)
  10.   return(cluster.stats(dist(data), clusters)$ch)
  11. }

通过系统掌握聚类分析的核心原理、参数调优方法和效果评估体系，开发者能够更精准地解决实际业务中的分组问题。建议结合具体场景进行算法选型，并通过可视化工具持续监控聚类质量的变化趋势。

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