单纯形法：线性规划的核心求解技术

2026年1月20日 互联网

一、单纯形法的算法本质与核心价值

线性规划作为运筹学的重要分支，广泛应用于资源分配、生产调度等场景。其核心问题可抽象为：在给定线性约束条件下，求解目标函数的极值（最大值或最小值）。单纯形法通过几何视角的迭代过程，在多维可行域的顶点间寻找最优解，具有以下技术优势：

  1. 全局收敛性：在非退化情况下，算法必然在有限步内收敛到全局最优解
  2. 计算确定性：每一步迭代都严格遵循数学规则，避免随机搜索的不可控性
  3. 结构可解释性：基可行解的变换过程清晰对应几何空间的顶点移动

二、最优解判别准则：迭代终止的数学条件

算法迭代需要明确的终止标准，单纯形法通过检验数（Reduced Cost）实现：

  1. 标准型检验数：对于最大化问题，当所有非基变量的检验数σ_j ≤ 0时，当前解为最优解
  2. 退化情况处理：当存在σ_j = 0时，需进一步检查是否存在多重最优解
  3. 无界解判定：若存在σ_j > 0且对应列所有元素≤0，则问题无界

数学推导示例：
考虑标准型LP问题：

  1. max z = 3x1 + 2x2
  2. s.t. 
  3.   2x1 + x2 ≤ 4
  4.   x1 + 2x2 ≤ 3
  5.   x1,x2 ≥ 0

引入松弛变量后，初始基可行解为(0,0,4,3)。计算非基变量x1的检验数：
σ1 = c1 - cBB⁻¹a1 = 3 - (02 + 01) = 3 > 0
表明当前解非最优，需继续迭代。

三、换基运算：基可行解的迭代机制

换基过程包含出基变量选择和入基变量选择两个关键步骤：

  1. 出基变量确定：

    • 计算比值θ = min{b_i/a_ij | a_ij > 0}
    • 选择使θ最小的基变量作为出基变量
    • 示例：在前述问题中，x1入基时：
      θ1 = 4/2 = 2 (对应s1)
      θ2 = 3/1 = 3 (对应s2)
      故选择s1出基

  2. 入基变量选择：

    • 优先选择检验数最大的非基变量
    • 当存在多个最大检验数时，可采用Bland规则避免循环

  3. 基变换操作：

    • 通过高斯-约当消元法更新单纯形表
    • 保持基矩阵的单位性，确保数值稳定性

迭代过程示意：
初始表 → 选择x1入基 → s1出基 → 更新单纯形表 → 检查最优性 → 重复直到终止

四、进基列选择策略：优化迭代效率

进基列的选择直接影响算法收敛速度，常见策略包括：

  1. 最大检验数原则：

    • 优先选择使目标函数增量最大的变量
    • 数学表达：argmax{σ_j | σ_j > 0}
    • 优势：理论保证最快下降速度

  2. Dantzig规则：

    • 选择绝对值最大的正检验数
    • 适用于大规模问题，减少迭代次数

  3. 最陡边规则：

    • 考虑变量系数对目标函数的综合影响
    • 计算σ_j / ||a_j||，选择比值最大的变量

性能对比分析：
| 选择策略 | 平均迭代次数 | 计算复杂度 | 适用场景 |
|————————|——————-|—————-|—————————|
| 最大检验数 | 较低 | O(mn) | 小规模精确求解 |
| Dantzig规则 | 中等 | O(n) | 大规模稀疏问题 |
| 最陡边规则 | 较高 | O(mn²) | 高精度要求场景 |

五、算法实现的关键技术细节

  1. 初始基可行解构造：

    • 两阶段法：先求解辅助问题获取初始基
    • 大M法：引入人工变量并设置极大惩罚系数

  2. 退化情况处理：

    • 扰动技术：对数据添加微小扰动避免系数为零
    • 字典序规则：优先选择行索引较小的变量出基

  3. 数值稳定性优化：

    • 主元选择策略：优先选择绝对值最大的元素作为主元
    • 迭代精度控制：设置ε值判断数值零（如1e-6）

代码实现框架：

  1. import numpy as np
  3. def simplex_method(c, A, b):
  4.     m, n = A.shape
  5.     # 构造初始单纯形表
  6.     tableau = np.zeros((m+1, n+m+1))
  7.     tableau[:m, :n] = A
  8.     tableau[:m, n:n+m] = np.eye(m)
  9.     tableau[-1, :n] = -c
  10.     tableau[:m, -1] = b
  12.     while True:
  13.         # 最优性检验
  14.         reduced_cost = tableau[-1, :n]
  15.         if all(rc <= 1e-6):
  16.             break
  18.         # 进基列选择
  19.         entering = np.argmax(reduced_cost)
  21.         # 出基行选择
  22.         ratios = tableau[:m, -1] / tableau[:m, entering]
  23.         ratios[tableau[:m, entering] <= 0] = np.inf
  24.         leaving = np.argmin(ratios)
  26.         # 基变换
  27.         pivot = tableau[leaving, entering]
  28.         tableau[leaving, :] /= pivot
  29.         for i in range(m+1):
  30.             if i != leaving:
  31.                 tableau[i, :] -= tableau[i, entering] * tableau[leaving, :]
  33.     return tableau[-1, -1]  # 返回最优值

六、实际应用中的优化方向

  1. 稀疏矩阵处理：

    • 采用CSR格式存储约束矩阵
    • 开发专用稀疏线性代数运算库

  2. 并行计算优化：

    • 将单纯形表行分配到不同计算节点
    • 实现异步检验数计算与基变换

  3. 预处理技术：

    • 约束条件标准化（缩放系数到[0,1]）
    • 冗余约束检测与删除

  4. 混合整数规划扩展：

    • 结合分支定界法处理整数变量
    • 开发割平面生成模块

单纯形法作为线性规划的基石算法，其理论完善性与实践有效性已得到充分验证。现代优化技术通过结合内点法、启发式算法等，进一步扩展了其应用边界。开发者在掌握经典单纯形法的基础上，可根据具体问题场景选择合适的改进策略，实现求解效率与精度的平衡。

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