基于Ceres的LM算法实现与应用解析

2026年1月7日 互联网

基于Ceres的LM算法实现与应用解析

一、LM算法与非线性最小二乘问题

Levenberg-Marquardt（LM）算法是解决非线性最小二乘问题的经典方法，广泛应用于计算机视觉、机器人定位、三维重建等领域。其核心思想通过动态调整阻尼因子λ，在梯度下降法（高λ值）和高斯-牛顿法（低λ值）之间切换，平衡收敛速度与稳定性。

算法数学基础

给定非线性函数$f(x)$，最小化目标函数：
<br>min<em>x12∑</em>i=1n∣∣fi(x)∣∣2<br><br>\min<em>x \frac{1}{2}\sum</em>{i=1}^n ||f_i(x)||^2<br>
LM算法通过迭代更新参数$x$：
<br>(JTJ+λI)δ=−JTf<br><br>(J^TJ + \lambda I)\delta = -J^Tf<br>
其中$J$为雅可比矩阵，$\lambda$为阻尼因子。当$\lambda$较大时，算法接近梯度下降；当$\lambda$较小时，接近高斯-牛顿法。

适用场景

  • 参数估计（如相机标定）
  • 曲线拟合（如B样条优化）
  • 运动估计（如SLAM中的位姿优化）
  • 结构重建（如点云配准）

二、Ceres Solver库简介

Ceres Solver是行业常见的非线性优化库，由Google开发并开源，提供LM、Dogleg等算法实现。其核心优势包括：

  • 自动微分支持，减少手动计算雅可比矩阵的错误
  • 灵活的问题建模接口
  • 多线程与稀疏矩阵优化
  • 跨平台兼容性（Windows/Linux/macOS）

核心组件

  1. Problem类：定义优化问题，包含参数块和残差块
  2. CostFunction类：封装残差计算逻辑
  3. Solver类：配置算法参数并执行优化

三、Ceres实现LM算法的完整流程

1. 环境准备

依赖安装（以Ubuntu为例）：

  1. sudo apt-get install libceres-dev
  2. # 或从源码编译
  3. git clone https://ceres-solver.googlesource.com/ceres-solver
  4. cd ceres-solver
  5. mkdir build && cd build
  6. cmake .. -DCMAKE_BUILD_TYPE=Release
  7. make -j8
  8. sudo make install

2. 问题建模示例

假设需要拟合曲线$y = e^{ax} + b$，给定观测数据$(x_i, y_i)$，优化参数$a$和$b$。

残差块定义

  1. struct ExponentialResidual {
  2.     ExponentialResidual(double x, double y) : x_(x), y_(y) {}
  3.     template <typename T>
  4.     bool operator()(const T* const a, const T* const b, T* residual) const {
  5.         residual[0] = T(y_) - (exp(a[0] * T(x_)) + b[0]);
  6.         return true;
  7.     }
  8. private:
  9.     double x_, y_;
  10. };

优化问题构建

  1. #include <ceres/ceres.h>
  2. using namespace ceres;
  4. void FitCurve(const std::vector<double>& x_data, 
  5.               const std::vector<double>& y_data,
  6.               double* a, double* b) {
  7.     Problem problem;
  8.     for (int i = 0; i < x_data.size(); ++i) {
  9.         CostFunction* cost_function =
  10.             new AutoDiffCostFunction<ExponentialResidual, 1, 1, 1>(
  11.                 new ExponentialResidual(x_data[i], y_data[i]));
  12.         problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, a, b);
  13.     }
  15.     // 配置求解器
  16.     Solver::Options options;
  17.     options.max_num_iterations = 100;
  18.     options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;  // 小规模问题适用
  19.     options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  21.     Solver::Summary summary;
  22.     Solve(options, &problem, &summary);
  23.     std::cout << summary.BriefReport() << std::endl;
  24. }

3. 关键参数配置

参数 说明 推荐值
linear_solver_type 线性求解器 小问题：DENSE_QR
大问题：SPARSE_NORMAL_CHOLESKY
max_num_iterations 最大迭代次数 50-200（根据问题复杂度调整）
function_tolerance 函数值容忍度 1e-6
gradient_tolerance 梯度容忍度 1e-10
parameter_tolerance 参数变化容忍度 1e-8

四、性能优化与最佳实践

1. 雅可比矩阵处理策略

  • 自动微分：优先使用AutoDiffCostFunction，避免手动计算错误
  • 解析微分：对复杂函数可手动实现NumericDiffCostFunction
  • 稀疏性利用：大规模问题启用SPARSE_SCHUR或CLUSTER_JACOBI

2. 并行化加速

  1. options.num_threads = 8;  // 利用多核CPU
  2. options.num_linear_solver_threads = 4;  // 线性求解并行化

3. 收敛诊断

通过Solver::Summary获取关键指标：

  1. if (summary.termination_type == CONVERGENCE) {
  2.     std::cout << "优化成功收敛" << std::endl;
  3. } else if (summary.termination_type == NO_CONVERGENCE) {
  4.     std::cout << "未达收敛条件，考虑增加迭代次数" << std::endl;
  5. }

五、实际应用案例：Bundle Adjustment

在三维重建中，Bundle Adjustment（BA）通过最小化重投影误差优化相机位姿和三维点坐标。使用Ceres的LM实现如下：

1. 残差块定义

  1. struct ReprojectionError {
  2.     ReprojectionError(double observed_x, double observed_y)
  3.         : observed_x(observed_x), observed_y(observed_y) {}
  5.     template <typename T>
  6.     bool operator()(const T* const camera,
  7.                     const T* const point,
  8.                     T* residuals) const {
  9.         // 相机模型：旋转矩阵R和平移向量t
  10.         T p[3];
  11.         ceres::AngleAxisRotatePoint(camera, point, p);
  12.         p[0] += camera[3];  // 添加平移
  13.         p[1] += camera[4];
  14.         p[2] += camera[5];
  16.         // 投影到图像平面
  17.         T xp = p[0] / p[2];
  18.         T yp = p[1] / p[2];
  20.         // 重投影误差
  21.         residuals[0] = xp - T(observed_x);
  22.         residuals[1] = yp - T(observed_y);
  23.         return true;
  24.     }
  25. private:
  26.     double observed_x, observed_y;
  27. };

2. 问题构建与求解

  1. void RunBundleAdjustment(const std::vector<std::pair<double, double>>& observations,
  2.                          std::vector<double>* camera,
  3.                          std::vector<std::vector<double>>* points) {
  4.     Problem problem;
  5.     for (size_t i = 0; i < observations.size(); ++i) {
  6.         const auto& obs = observations[i];
  7.         CostFunction* cost_function =
  8.             new AutoDiffCostFunction<ReprojectionError, 2, 6, 3>(
  9.                 new ReprojectionError(obs.first, obs.second));
  10.         problem.AddResidualBlock(cost_function,
  11.                                 new ceres::HuberLoss(1.0),  // 鲁棒核函数
  12.                                 camera->data(),
  13.                                 points->at(i/10).data());  // 假设每10个观测对应一个3D点
  14.     }
  16.     Solver::Options options;
  17.     options.linear_solver_type = ceres::SPARSE_SCHUR;
  18.     options.minimizer_progress_to_stdout = true;
  20.     Solver::Summary summary;
  21.     Solve(options, &problem, &summary);
  22.     std::cout << summary.FullReport() << std::endl;
  23. }

六、常见问题与解决方案

1. 收敛失败处理

  • 现象：迭代次数达到上限但未收敛
  • 原因：初始值不合理、阻尼因子调整不当
  • 解决：
    • 使用options.initial_trust_region_radius调整初始信任域
    • 尝试options.dynamic_sparsity = true处理动态稀疏问题

2. 数值稳定性问题

  • 现象：出现NaN或极大残差
  • 原因：尺度差异大、病态条件
  • 解决：
    • 对参数进行归一化处理
    • 使用options.use_nonmonotonic_steps = true允许非单调下降

3. 大规模问题优化

  • 策略：
    • 使用ParameterBlockOrdering指定参数分组
    • 启用options.use_mixed_precision_solves = true（支持GPU时）
    • 考虑分块处理（如滑动窗口BA）

七、总结与展望

Ceres Solver通过高效的LM算法实现，为非线性优化问题提供了工业级解决方案。开发者在实际应用中需注意：

  1. 合理选择线性求解器以平衡精度与速度
  2. 通过参数调优和收敛诊断提升优化可靠性
  3. 结合问题特性设计高效的残差模型

未来，随着计算硬件的发展（如GPU加速），Ceres有望进一步优化大规模稀疏问题的求解效率，为三维重建、自动驾驶等实时性要求高的场景提供更强支持。

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