PAT甲级1134题：图论中的顶点覆盖问题解析与实现

2026年1月4日 互联网

一、问题背景与定义

顶点覆盖（Vertex Cover）是图论中的经典问题，指在无向图中选取一个顶点集合，使得图中的每一条边至少有一个端点属于该集合。PAT甲级1134题要求验证给定的顶点集合是否为图的顶点覆盖，并统计满足条件的最小顶点覆盖数。

问题核心

  • 输入：无向图的顶点数N、边数M，以及M条边的连接关系；随后给出K个顶点集合，每个集合包含若干顶点。
  • 输出：对于每个顶点集合，判断其是否为顶点覆盖，并统计所有集合中满足条件的最小顶点数。

示例分析

假设输入如下：

  1. 10 3
  2. 2 4
  3. 3 8
  4. 5 6
  5. 3
  6. 4 5 7
  7. 2 3 4
  8. 1 2 3
  • 第一个集合4 5 7无法覆盖边2-4（因顶点2不在集合中），输出No。
  • 第二个集合2 3 4覆盖所有边，输出Yes，且集合大小为3。
  • 第三个集合1 2 3同样覆盖所有边，但集合大小为3（非最小，但题目仅需判断是否为覆盖）。

二、算法设计与选择

解决顶点覆盖验证问题的核心在于遍历所有边，检查每条边是否至少有一个端点在给定集合中。若所有边均满足条件，则该集合为顶点覆盖；否则不是。

算法步骤

  1. 输入处理：读取顶点数N、边数M，存储所有边的连接关系（可用邻接表或边列表）。
  2. 集合验证：对于每个顶点集合，执行以下操作：
    • 初始化标志is_cover = True。
    • 遍历所有边，检查是否存在边的两个端点均不在集合中。若存在，设置is_cover = False并终止检查。
    • 根据is_cover输出Yes或No。
  3. 最小覆盖统计：在验证过程中，记录所有满足条件的集合的最小大小（若题目要求）。

复杂度分析

  • 时间复杂度：假设边数为M，集合平均大小为K，则每个集合的验证时间为O(M)。对于K个集合，总时间为O(K*M)。
  • 空间复杂度：存储边需要O(M)空间，集合存储需O(K)空间（若逐个处理可优化至O(1)额外空间）。

三、代码实现与优化

基础实现（C++示例）

  1. #include <iostream>
  2. #include <vector>
  3. #include <unordered_set>
  4. using namespace std;
  6. struct Edge {
  7.     int u, v;
  8. };
  10. bool isVertexCover(const vector<Edge>& edges, const unordered_set<int>& cover) {
  11.     for (const auto& edge : edges) {
  12.         if (cover.find(edge.u) == cover.end() && cover.find(edge.v) == cover.end()) {
  13.             return false;
  14.         }
  15.     }
  16.     return true;
  17. }
  19. int main() {
  20.     int N, M;
  21.     cin >> N >> M;
  22.     vector<Edge> edges(M);
  23.     for (int i = 0; i < M; ++i) {
  24.         cin >> edges[i].u >> edges[i].v;
  25.     }
  27.     int K;
  28.     cin >> K;
  29.     while (K--) {
  30.         int k;
  31.         cin >> k;
  32.         unordered_set<int> cover;
  33.         for (int i = 0; i < k; ++i) {
  34.             int vertex;
  35.             cin >> vertex;
  36.             cover.insert(vertex);
  37.         }
  38.         cout << (isVertexCover(edges, cover) ? "Yes" : "No") << endl;
  39.     }
  40.     return 0;
  41. }

优化思路

  1. 输入优化：使用更高效的数据结构（如bitset）存储顶点集合，但需权衡空间与时间。
  2. 并行处理：若集合数量极大，可考虑多线程并行验证（需注意线程安全）。
  3. 提前终止：在验证过程中，一旦发现未覆盖的边立即终止检查，减少不必要的计算。

四、边界条件与测试用例

常见边界条件

  1. 空图：M=0时，任何顶点集合（包括空集）均为顶点覆盖。
  2. 孤立顶点：若图中存在无连接的顶点，其是否在集合中不影响结果。
  3. 完全覆盖：集合包含所有顶点时，必然为顶点覆盖。
  4. 重复边：题目通常保证无重复边，但需处理自环（若存在，需确保自环的顶点在集合中）。

测试用例设计

测试场景 输入示例 预期输出 说明
空图 3 0<br>2<br>1 2<br>3 Yes<br>Yes 无边时所有集合均为覆盖
完全覆盖 4 3<br>1 2<br>2 3<br>3 4<br>1<br>1 2 3 4 Yes 集合包含所有顶点
非覆盖 4 3<br>1 2<br>2 3<br>3 4<br>1<br>1 No 边2-3未被覆盖

五、扩展与应用

最小顶点覆盖问题

PAT甲级1134题仅要求验证，但实际场景中常需求解最小顶点覆盖。该问题为NP难问题，常见解法包括：

  1. 近似算法：如贪心算法（每次选择覆盖最多未覆盖边的顶点）。
  2. 二分图匹配：若图为二分图，最小顶点覆盖数等于最大匹配数（Konig定理）。
  3. 启发式算法：如遗传算法、模拟退火，适用于大规模图。

实际应用场景

  1. 网络监控：选择关键节点监控所有链路。
  2. 电路设计：确保测试点覆盖所有电路连接。
  3. 社交网络：识别影响整个网络的关键用户。

六、总结与建议

  1. 理解问题本质：顶点覆盖的核心是“每条边至少有一个端点在集合中”，需避免过度复杂化。
  2. 优化实现细节：使用高效的数据结构（如哈希集合）和提前终止策略提升性能。
  3. 扩展知识体系：学习最小顶点覆盖的求解方法，理解NP难问题的处理思路。
  4. 实践与测试：通过设计多样测试用例验证代码正确性，尤其关注边界条件。

通过系统学习与实践，读者可掌握顶点覆盖问题的核心解法，并为解决更复杂的图论问题奠定基础。

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