一、问题背景与CDQ分治适用性

在AI机器人路径规划场景中，经常需要处理二维平面上的机器人坐标与移动范围查询问题。以某编程竞赛题目为例，题目要求统计每个机器人右侧一定距离范围内其他机器人的数量，并计算特定条件下的移动代价。这类问题本质上属于二维平面上的范围统计问题，传统暴力解法时间复杂度为O(n²)，难以应对大规模数据。

CDQ分治（Coordinate Division Queries）作为一种基于坐标的降维分治算法，通过将二维问题分解为一维子问题，结合归并排序思想实现高效查询。其核心优势在于将二维统计问题的时间复杂度从O(n²)优化至O(n log n)，特别适用于处理大规模机器人坐标数据与范围查询场景。

二、CDQ分治算法核心实现

1. 坐标预处理与排序

首先对机器人坐标进行预处理，将原始数据转换为(x, y)坐标对，并按x坐标升序排序。这一步骤为后续分治处理奠定基础，确保每个查询区间内的x坐标具有连续性。

struct Robot {
    int x, y;
    // 构造函数
    Robot(int _x, int _y) : x(_x), y(_y) {}
};
// 按x坐标升序排序
bool cmp_x(const Robot& a, const Robot& b) {
    return a.x < b.x;
}
vector<Robot> robots; // 存储机器人坐标
sort(robots.begin(), robots.end(), cmp_x);

2. 分治处理框架

采用递归分治策略，将问题分解为左右两个子区间：

分解：以中点mid为界，将机器人集合划分为左区间[0, mid]和右区间[mid+1, n-1]
递归：分别对左右子区间进行递归处理
合并：在合并阶段处理跨越左右区间的查询

void cdq_divide(int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq_divide(l, mid);    // 处理左区间
    cdq_divide(mid+1, r); // 处理右区间
    merge_process(l, mid, r); // 合并处理
}

3. 树状数组优化查询

在合并阶段，需要统计右区间中满足y坐标条件的机器人数量。采用树状数组（Fenwick Tree）实现高效查询与更新：

离散化处理：将y坐标映射到连续区间，减少树状数组空间
查询操作：查询[y_min, y_max]范围内的机器人数量
更新操作：将已处理的机器人y坐标插入树状数组

class FenwickTree {
private:
    vector<int> tree;
    int size;
public:
    FenwickTree(int n) : size(n), tree(n+1, 0) {}
    void update(int idx, int delta) {
        while (idx <= size) {
            tree[idx] += delta;
            idx += idx & -idx;
        }
    }
    int query(int idx) {
        int res = 0;
        while (idx > 0) {
            res += tree[idx];
            idx -= idx & -idx;
        }
        return res;
    }
};
// 合并处理示例
void merge_process(int l, int mid, int r) {
    // 1. 离散化处理y坐标
    vector<int> all_y;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        all_y.push_back(robots[i].y);
    }
    sort(all_y.begin(), all_y.end());
    all_y.erase(unique(all_y.begin(), all_y.end()), all_y.end());
    // 2. 构建树状数组
    FenwickTree ft(all_y.size());
    map<int, int> y_to_idx;
    for (int i = 0; i < all_y.size(); ++i) {
        y_to_idx[all_y[i]] = i+1; // 1-based索引
    }
    // 3. 处理右区间机器人
    vector<Robot> right_robots;
    for (int i = mid+1; i <= r; ++i) {
        right_robots.push_back(robots[i]);
    }
    // 4. 统计满足条件的机器人数量
    for (int i = mid+1; i <= r; ++i) {
        int y = robots[i].y;
        int y_idx = y_to_idx[y];
        // 查询y坐标小于当前机器人的数量
        int cnt = ft.query(y_idx - 1);
        // 更新结果...
        ft.update(y_idx, 1);
    }
}

三、性能优化与边界处理

1. 坐标离散化优化

原始y坐标可能存在较大范围或负值，直接作为树状数组索引会导致内存浪费。通过离散化处理：

收集所有y坐标并排序去重
建立坐标到连续索引的映射关系
将查询范围转换为离散化后的索引区间

2. 递归终止条件优化

当子区间长度小于阈值（如32）时，切换为暴力解法：

void cdq_divide(int l, int r) {
    if (r - l + 1 <= 32) { // 阈值可根据实际调整
        brute_force(l, r);
        return;
    }
    // 原有分治逻辑...
}

3. 内存管理优化

预分配树状数组内存，避免动态扩容
复用离散化映射结构，减少重复计算
采用引用传递替代值传递，降低拷贝开销

四、完整实现示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Robot {
    int x, y;
    int res; // 存储计算结果
    Robot(int _x, int _y) : x(_x), y(_y), res(0) {}
};
class FenwickTree {
    // 同上实现...
};
void cdq_solve(vector<Robot>& robots, int l, int r) {
    if (l == r) {
        robots[l].res = 0; // 基础情况处理
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq_solve(robots, l, mid);
    cdq_solve(robots, mid+1, r);
    // 离散化处理
    vector<int> all_y;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        all_y.push_back(robots[i].y);
    }
    sort(all_y.begin(), all_y.end());
    all_y.erase(unique(all_y.begin(), all_y.end()), all_y.end());
    map<int, int> y_map;
    for (int i = 0; i < all_y.size(); ++i) {
        y_map[all_y[i]] = i+1;
    }
    FenwickTree ft(all_y.size());
    vector<Robot> temp;
    // 处理右区间机器人
    for (int i = mid+1; i <= r; ++i) {
        int y = robots[i].y;
        int y_idx = y_map[y];
        // 查询y坐标小于当前机器人的数量
        robots[i].res += ft.query(y_idx - 1);
        ft.update(y_idx, 1);
    }
    // 清空树状数组处理左区间（实际实现需更复杂）
    // ...
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<Robot> robots(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        robots[i] = Robot(x, y);
    }
    // 按x坐标排序
    sort(robots.begin(), robots.end(), 
        [](const Robot& a, const Robot& b) {
            return a.x < b.x;
        });
    cdq_solve(robots, 0, n-1);
    // 输出结果...
    return 0;
}

五、工程实践建议

阈值选择：根据实际数据规模调整递归终止阈值，通常32-64为合理范围
并行优化：对独立子区间可尝试并行处理（需注意线程安全）
内存预分配：对大规模数据预先分配连续内存，减少动态分配开销
结果验证：实现后务必与暴力解法结果对比，确保算法正确性

CDQ分治通过将二维问题降维处理，为AI机器人路径规划中的范围查询问题提供了高效解决方案。实际工程中需结合具体场景进行优化调整，在保证正确性的前提下追求最佳性能表现。

CDQ分治在AI机器人路径规划问题中的应用与实现