一、空间域滤波：直接操作像素的经典方法

1.1 线性滤波：均值与高斯滤波的数学本质

线性滤波通过卷积核与图像像素的加权求和实现降噪，其核心是邻域像素的线性组合。均值滤波采用固定权重的矩形核（如3×3核所有元素为1/9），通过局部平均消除高频噪声，但会导致边缘模糊。数学表达式为：

# 均值滤波的简化实现（NumPy）
import numpy as np
def mean_filter(image, kernel_size=3):
    pad = kernel_size // 2
    padded = np.pad(image, pad, mode='edge')
    kernel = np.ones((kernel_size, kernel_size)) / (kernel_size**2)
    filtered = np.zeros_like(image)
    for i in range(image.shape[0]):
        for j in range(image.shape[1]):
            region = padded[i:i+kernel_size, j:j+kernel_size]
            filtered[i,j] = np.sum(region * kernel)
    return filtered

高斯滤波通过二维高斯核（权重与像素到中心点的距离呈高斯分布）实现加权平均，其标准差σ控制平滑强度：σ越大，权重分布越分散，降噪效果越强但边缘保留越差。实际应用中，常采用分离滤波（先水平后垂直卷积）将O(n²)复杂度降至O(n)。

1.2 非线性滤波：中值与双边滤波的突破

中值滤波通过取邻域像素的中值替代中心像素值，对椒盐噪声（脉冲噪声）具有极佳的抑制效果。其优势在于不依赖噪声统计特性，且能保留边缘（相比均值滤波）。实现时需注意边界处理，常用策略包括零填充、镜像填充或重复填充。

双边滤波结合空间邻近度与像素相似度，其权重函数为：
$w (i, j, k, l) = \exp (- \frac{(i - k)^{2} + (j - l)^{2}}{2 σ_{d}^{2}}) \cdot \exp (- \frac{∣ I (i, j) - I (k, l) ∣^{2}}{2 σ_{r}^{2}}) w(i,j,k,l) = \exp\left(-\frac{(i-k)^2+(j-l)^2}{2\sigma_d^2}\right) \cdot \exp\left(-\frac{|I(i,j)-I(k,l)|^2}{2\sigma_r^2}\right)$
其中σ_d控制空间距离权重，σ_r控制颜色相似度权重。该算法在平滑区域时σ_r主导，实现全局平滑；在边缘区域σ_d主导，保留边缘结构。OpenCV中的cv2.bilateralFilter()已优化实现，参数选择建议σ_d为图像尺寸的1%-5%，σ_r根据噪声强度调整（通常10-100）。

二、频域处理：变换域的噪声抑制

2.1 傅里叶变换：频谱分析与滤波设计

图像经傅里叶变换后，噪声通常集中在高频分量。理想低通滤波器虽能完全去除高频噪声，但会产生”振铃效应”（Gibbs现象）。实际应用中更常用高斯低通滤波器，其传递函数为：
$H (u, v) = \exp (- \frac{D^{2} (u, v)}{2 D_{0}^{2}}) H(u,v) = \exp\left(-\frac{D^2(u,v)}{2D_0^2}\right)$
其中D(u,v)为频率(u,v)到中心点的距离，D₀为截止频率。选择D₀时需平衡降噪与细节保留，可通过观察频谱图或试验法确定。

2.2 小波变换：多尺度分析与阈值处理

小波变换将图像分解为不同尺度与方向的子带，噪声主要分布在高频细节子带。硬阈值法直接去除绝对值小于阈值的小波系数，软阈值法则将系数向零收缩：

# 小波软阈值降噪示例（PyWavelets）
import pywt
def wavelet_denoise(image, wavelet='db4', level=3, threshold=10):
    coeffs = pywt.wavedec2(image, wavelet, level=level)
    # 对高频子带应用软阈值
    coeffs_thresh = [coeffs[0]] + [
        (pywt.threshold(c, threshold, mode='soft') if i>0 else c)
        for i, c in enumerate(coeffs[1:])
    ]
    return pywt.waverec2(coeffs_thresh, wavelet)

阈值选择可采用通用阈值（σ√(2lnN)）或基于贝叶斯估计的自适应阈值。小波基的选择影响分解效果，’db4’或’sym2’在图像处理中表现稳定。

三、统计建模：基于噪声特性的优化方法

3.1 最大似然估计：噪声参数推断

若已知噪声类型（如高斯噪声、泊松噪声），可通过最大似然估计推断噪声参数。对于加性高斯噪声，似然函数为：
$L (σ^{2}) = \prod_{i, j} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{(I (i, j) - F (i, j))^{2}}{2 σ^{2}}) L(\sigma^2) = \prod_{i,j} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(I(i,j)-F(i,j))^2}{2\sigma^2}\right)$
其中F为无噪图像估计，可通过梯度下降或EM算法优化。实际应用中常结合局部窗口统计，提高参数估计的鲁棒性。

3.2 马尔可夫随机场：空间约束的降噪

MRF模型将图像视为随机场，通过邻域像素的相互作用实现降噪。其能量函数通常包含数据项（拟合观测图像）与平滑项（惩罚相邻像素差异）：
$E (F) = \sum < e m > i, j (I (i, j) - F (i, j))^{2} + λ \sum < / e m > (i, j) \sim (k, l) ∣ F (i, j) - F (k, l) ∣ E(F) = \sum<em>{i,j} (I(i,j)-F(i,j))^2 + \lambda \sum</em>{(i,j)\sim(k,l)} |F(i,j)-F(k,l)|$
其中λ控制平滑强度。求解可采用迭代条件模式（ICM）或模拟退火算法，但计算复杂度较高。现代实现常结合图割（Graph Cut）或置信传播（Belief Propagation）优化。

四、方法选型与优化策略

4.1 噪声类型与算法匹配

高斯噪声：优先选择高斯滤波、维纳滤波或小波软阈值
椒盐噪声：中值滤波或自适应中值滤波（如cv2.medianBlur()）
周期性噪声：频域陷波滤波
混合噪声：结合空间域与频域方法（如先中值滤波去脉冲，再小波降噪）

4.2 参数调优的实用技巧

滤波器尺寸：从3×3开始试验，逐步增大至效果饱和（通常不超过7×7）
双边滤波参数：σ_d与图像尺寸成比例，σ_r根据噪声强度调整（可通过直方图分析噪声分布）
小波阈值：采用通用阈值作为起点，通过PSNR或SSIM指标微调
迭代优化：对严重噪声图像，可分阶段降噪（如先粗降噪再细调）

4.3 计算效率优化

分离滤波：将二维卷积拆分为两个一维卷积（如高斯滤波）
积分图加速：均值滤波与盒式滤波可利用积分图将复杂度从O(n²)降至O(1)
并行计算：利用GPU加速傅里叶变换与小波变换（如CUDA实现）
近似算法：对实时应用，可采用快速中值滤波或近似小波变换

五、传统方法的局限性与发展

传统方法在计算复杂度、边缘保留与噪声适应性上存在瓶颈。例如，线性滤波无法区分噪声与细节；非线性滤波参数调整依赖经验；频域方法对非平稳噪声效果有限。现代研究正结合深度学习，通过数据驱动的方式学习噪声分布与图像先验，但传统方法在资源受限场景（如嵌入式设备）或可解释性要求高的领域仍具有不可替代的价值。开发者应理解传统方法的数学本质，为其改进或与深度学习结合提供理论基础。

传统图像降噪技术全解析：原理、实现与优化策略