【论文笔记】多智能体加权质心跟踪(Weighted Centroid Tracking)的分布式观测控制器设计

文章目录

• 写在前面
• 问题描述
• 状态观测器
• • 证明$\mathbf{L}+\mathbf{\Pi }$正定性
  • 经典consensus算法
• 加权质心跟踪算法
• 闭环动力学
• 收敛性分析
• MATLAB仿真

写在前面

原论文：A Decentralized Controller-Observer Scheme for Multi-Agent Weighted Centroid Tracking。

本文是Antonelli 2013¹的总结，主要介绍了一种控制器和观测器结合的分布式加权质心跟踪方法，其中每一个智能体都通过观测器估计所有智能体的状态。

问题描述

定义$x=[x_1^T,\cdots ,x_n^T{]}^T$。系统模型
$$\dot{x}=u(1)$$
控制目标是加权质心跟踪：
$$\sigma (x)=\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\to {\sigma }_d$$

状态观测器

令${\Pi }_i\in {\mathbb{R}}^{nd\times nd}$为选择矩阵，即 Π i = diag ⁡ { O d , ⋯ , I d , ⋯ , O d } \Pi_i=\operatorname{diag}\{O_d,\cdots,I_d,\cdots,O_d\} Πi​=diag{Od​,⋯,Id​,⋯,Od​}，仅有第$i$块矩阵为单位阵，其余均为全零矩阵，满足${\sum }_{i=1}^n{\Pi }_i=I_{nd}$。

智能体$i$通过如下观测器估计整个系统的状态：
$${}^i\dot{\hat{x}}=k_o\left(\sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}({}^j\hat{x}-{}^i\hat{x})+{\Pi }_i(x-{}^i\hat{x})\right)+{}^i\hat{u}(2)$$
其中$k_o>0$，且
$${}^i\hat{x}=\left[\begin{array}{c}{}^i{\hat{x}}_1\\ {}^i{\hat{x}}_2\\ ⋮\\ {}^i{\hat{x}}_n\end{array}\right],{}^i\hat{u}=\left[\begin{array}{c}{}^i{\hat{u}}_1\\ {}^i{\hat{u}}_2\\ ⋮\\ {}^i{\hat{u}}_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{nd}.$$
注意到，每一个智能体只用到了局部信息，因为${\Pi }_i$只会选择第$i$个智能体(即自身)的状态。

简洁起见，将(2)写成矩阵形式
$$\dot{\hat{\mathbf{x}}}=-k_o\mathbf{L}\hat{\mathbf{x}}+k_o\mathbf{\Pi }\tilde{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{u}}(3)$$
其中$\mathbf{L}=L\otimes I_{nd}$， Π = diag ⁡ { Π 1 , ⋯ , Π n } \boldsymbol \Pi=\operatorname{diag}\{\Pi_1,\cdots,\Pi_n\} Π=diag{Π1​,⋯,Πn​}，且估计状态误差和估计控制输入定义如下
$$\tilde{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}{}^1\tilde{x}\\ ⋮\\ {}^n\tilde{x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x-{}^1\hat{x}\\ ⋮\\ x-{}^n\hat{x}\end{array}\right]=1_n\otimes x-\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{u}}=\left[\begin{array}{c}{}^1\hat{u}\\ ⋮\\ {}^n\hat{u}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{n^{2}d}$$
定义$u$为真实控制输入。估计状态误差动力学为
$$\dot{\tilde{\mathbf{x}}}=-k_o(\mathbf{L}+\mathbf{\Pi })\tilde{\mathbf{x}}+1_n\otimes u-\hat{\mathbf{u}}(4)$$
注意到，$\mathbf{L}+\mathbf{\Pi }$对于连通无向图以及强连通平衡图是正定矩阵，这个性质在后面会用到。

证明$\mathbf{L}+\mathbf{\Pi }$正定性

显然两个矩阵都是半正定的，那么相加也同样是半正定的。如果是正定，除非他们的零空间不相交，即
null ⁡ ( L ) ∩ null ⁡ ( Π ) = { 0 n 2 d } . \operatorname{null}(\boldsymbol L)\cap\operatorname{null}(\boldsymbol \Pi)=\{0_{n^2d}\}. null(L)∩null(Π)={0n2d​}.
注意到$\mathbf{L},\mathbf{\Pi }\in {\mathbb{R}}^{n^{2}d\times n^{2}d}$，而$\mathrm{rank}(\mathbf{L})=nd(n-1)$，则$\dim (\mathrm{null}(\mathbf{L}))=nd$。那么$\mathrm{null}(\mathbf{L})$可以如下参数化
$$\mathrm{null}(\mathbf{L})=\mathrm{span}(1_n\otimes I_{nd})$$
其中的向量满足
$$v_L=[{\nu }^T,\cdots ,{\nu }^T{]}^T\in {\mathbb{R}}^{n^{2}d},\forall \nu \in {\mathbb{R}}^{nd}$$
同样地，我们有$\mathrm{rank}(\mathbf{\Pi })=nd$，则$\dim (\mathrm{null}(\mathbf{\Pi }))=nd(n-1)$。那么$\mathrm{null}(\mathbf{\Pi })$可以如下参数化
$$\mathrm{null}(\mathbf{\Pi })=\mathrm{span}(I_{n^{2}d}-\mathbf{\Pi })$$
其中的向量满足
$$\begin{gathered} v_{\Pi }=[v_1^T,\cdots ,v_n^T{]}^T\in {\mathbb{R}}^{n^{2}d} \\ {v}_i=[v_{i,1}^T,\cdots ,v_{i,n}^T]\in {\mathbb{R}}^{nd}:\forall v_{i,j}\in {\mathbb{R}}^d,v_{i,i}=0_d \end{gathered}$$
比较$v_L$和$v_{\Pi }$可知，非空的$v_L$不可能属于$\mathrm{null}(\mathbf{\Pi })$，反之非空的$v_{\Pi }$也不可能属于$\mathrm{null}(\mathbf{L})$。

经典consensus算法

网络化系统中，只要有一个节点知道参考信息，而拓扑又是连通的，那么就可以利用经典consensus算法使得参考信息传递到整个网络中，有兴趣可以比较一下，这里不继续讨论。
$${}^i{\dot{\hat{x}}}_k=\frac{1}{{{}^{i}b}_k+{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}}\left(\sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}{a}_{ij}({{}^j\dot{\hat{x}}}_k-\gamma ({{}^i\hat{x}}_k-{{}^j\hat{x}}_k))+{{}^{i}b}_k({\dot{x}}_k-\gamma ({}^i{\hat{x}}_k-x_k))\right)$$

其中${}^i{b}_k=1$如果$i=k$，否则${}^i{b}_k=0$，$k=1,\cdots ,n$。

加权质心跟踪算法

定义$w=[w_1,\cdots ,w_n{]}^T$，$\mathbf{w}=w\otimes I_d$。那么$\dot{\sigma }={\mathbf{w}}^T\dot{x}$，有集中式算法($u_0\in {\mathbb{R}}^{nd}$)
$$u_0=({\mathbf{w}}^T{)}^{†}({\dot{\sigma }}_d-k_c(\sigma (x)-{\sigma }_d))(5)$$
其中$k_c>0$，$(w^T{)}^{†}=(1/\Vert w{\Vert }^2)w$，满足$w^T(w^T{)}^{†}=I_n$。

受(5)启发，可以分布式设计智能体$i$的真实控制输入($u_i={}^i{\hat{u}}_i\in {\mathbb{R}}^d$)
$$u_i={}^i{\hat{u}}_i=\frac{w_i}{\Vert w{\Vert }^2}({\dot{\sigma }}_d-k_c(\sigma ({}^i\hat{x})-{\sigma }_d)(6)$$
由于智能体$i$对自身的估计是真实的，故可以直接设置为自身的控制输入。

相应的，智能体$i$对其他智能体控制输入的估计为
$${}^i{\hat{u}}_j=\frac{w_j}{\Vert w{\Vert }^2}({\dot{\sigma }}_d-k_c(\sigma ({}^i\hat{x})-{\sigma }_d)(7)$$

闭环动力学

定义$u=[u_1^T,\cdots ,u_n^T{]}^T=[{}^1{\hat{u}}_1^T,\cdots ,{}^n{\hat{u}}_n^T{]}^T$。因为
$${}^j{\hat{u}}_j-{}^i{\hat{u}}_j=k_c\frac{w_j}{\Vert w{\Vert }^2}{\mathbf{w}}^T({}^i\hat{x}-{}^j\hat{x})=k_c\frac{w_j}{\Vert w{\Vert }^2}{\mathbf{w}}^T({}^j\tilde{x}-{}^i\tilde{x})(8)$$
所以如下等式成立：
$$u-{}^i\hat{u}=-k_c\frac{\mathbf{w}{\mathbf{w}}^T}{\Vert w{\Vert }^2}{}^i\tilde{x}+k_c\frac{\mathrm{diag}(w)\otimes {\mathbf{w}}^T}{\Vert w{\Vert }^2}\tilde{\mathbf{x}}=:-A_o{}^i\tilde{x}+B_o\tilde{\mathbf{x}}(9)$$
其中$A_o\in {\mathbb{R}}^{nd\times nd}$，$B_o\in {\mathbb{R}}^{nd\times n^{2}d}$。

将估计状态误差动力学(4)重写为
$$\dot{\tilde{\mathbf{x}}}=-k_o(\mathbf{L}+\mathbf{\Pi })\tilde{\mathbf{x}}-({\mathbf{A}}_o-{\mathbf{B}}_o)\tilde{\mathbf{x}}(10)$$
其中${\mathbf{A}}_o=I_n\otimes A_o$半正定，${\mathbf{B}}_o=1_n\otimes B_o$不定。

由(6)可得，
$$\begin{array}{rl}\dot{\tilde{\sigma }}& ={\dot{\sigma }}_d-\dot{\sigma }={\dot{\sigma }}_d-\sum _{i=1}^n{w}_i{\dot{x}}_i\\ & ={\dot{\sigma }}_d-\sum _{i=1}^n\frac{w_i^2}{\Vert w{\Vert }^2}({\dot{\sigma }}_d-k_c(\sigma ({}^i\hat{x})-{\sigma }_d)\\ & =-k_c\tilde{\sigma }-\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}\sum _{i=1}^n{w}_i^2{\mathbf{w}}^T(x-{}^i\hat{x})\\ & =-k_c\tilde{\sigma }-\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}{\mathbf{w}}^T\sum _{i=1}^n{w}_i^2{}^i\tilde{x}\end{array}$$
因此，跟踪误差动力学可写为
$$\dot{\tilde{\sigma }}=-k_c\tilde{\sigma }-{\mathbf{B}}_c\tilde{\mathbf{x}}(11)$$
其中 B c = k c ∥ w ∥ 2 w T ( w T diag ⁡ { w } ⊗ I n ) ∈ R d × n 2 d \boldsymbol B_c=\frac{k_c}{\|w\|^2}\boldsymbol w^T(\boldsymbol w^T\operatorname{diag}\{\boldsymbol w\}\otimes I_n)\in \mathbb R^{d\times n^2d} Bc​=∥w∥2kc​​wT(wTdiag{w}⊗In​)∈Rd×n2d。

收敛性分析

定义李雅普诺夫函数
$$V=V_o+\delta V_c=\frac{1}{2}{\tilde{\mathbf{x}}}^T\tilde{\mathbf{x}}+\frac{\delta }{2}{\tilde{\sigma }}^T\tilde{\sigma }(12)$$
其中$\delta >0$不需要设计，仅用在证明中。

易知$V$满足如下不等式
$$c_m{\Vert \left[\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{x}}\\ \tilde{\sigma }\end{array}\right]\Vert }^2\le V\le c_M{\Vert \left[\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{x}}\\ \tilde{\sigma }\end{array}\right]\Vert }^2(13)$$
对任意 c m ≤ min ⁡ { 1 , δ } / 2 c_m\leq \min\{1,\delta\}/2 cm​≤min{1,δ}/2和 c M ≥ max ⁡ { 1 , δ } / 2 c_M\geq \max\{1,\delta\}/2 cM​≥max{1,δ}/2成立。

由(10)，$V_o$对时间求导得
$${\dot{V}}_o=-k_o{\tilde{\mathbf{x}}}^T(\mathbf{L}+\mathbf{\Pi })\tilde{\mathbf{x}}-\tilde{\mathbf{x}}({\mathbf{A}}_o-{\mathbf{B}}_o)\tilde{\mathbf{x}}(14)$$

由于$\mathbf{L}+\mathbf{\Pi }$和${\mathbf{A}}_o$都正定，有
$${\dot{V}}_o\le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2+{\tilde{\mathbf{x}}}^T{\mathbf{B}}_o\tilde{\mathbf{x}}(15)$$
其中${\lambda }_o=k_o{\lambda }_m$，${\lambda }_m$是$\mathbf{L}+\mathbf{\Pi }$的最小特征根，仅由网络拓扑决定。

由(8)(9)，不等式(15)计算得到
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_o& \le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2+\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}{\tilde{\mathbf{x}}}^T(1_n\otimes (\mathrm{diag}(w)\otimes {\mathbf{w}}^T))\tilde{\mathbf{x}}\\ & =-{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2+\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{w}_j{{}^i\tilde{x}}_j^T{\mathbf{w}}^T{}^j\tilde{x}\\ & \le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2+\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}\sum _{j=1}^n|w_j|\Vert {}^i\tilde{x}\Vert \sqrt{{\lambda }_M(w{w}^T)}\Vert {}^j\tilde{x}\Vert \\ & \le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert +\frac{k_c}{\Vert w\Vert }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|w_j|\Vert {}^i\tilde{x}\Vert \Vert {}^j\tilde{x}\Vert \\ & \le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert +k_c\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\Vert {}^i\tilde{x}\Vert \Vert {}^j\tilde{x}\Vert \\ & \le -{\lambda }_o\Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert +k_c\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\Vert {}^i\tilde{x}{\Vert }^2\\ & \le -({\lambda }_o-n{k}_c)\Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2\end{array}$$
由(11)，$V_c$对时间求导得
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_c& ={\tilde{\sigma }}^T\dot{\tilde{\sigma }}={\tilde{\sigma }}^T(-k_c\tilde{\sigma }-{\mathbf{B}}_c\tilde{\mathbf{x}})\\ & ={\tilde{\sigma }}^T\left(-k_c\tilde{\sigma }-\frac{k_c}{\Vert w{\Vert }^2}{\mathbf{w}}^T\sum _{i=1}^n{w}_i^2{}^i\tilde{x}\right)\\ & \le -k_c\Vert \tilde{\sigma }{\Vert }^2+\frac{k_c}{\Vert w\Vert }\Vert \tilde{\sigma }\Vert \sum _{i=1}^n{w}_i^2\Vert {}^i\tilde{x}\Vert \\ & \le -k_c\Vert \tilde{\sigma }{\Vert }^2+n{k}_c\Vert w\Vert \Vert \tilde{\sigma }\Vert \Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert \end{array}$$
因此，李雅普诺夫函数(12)对时间求导得
$$\dot{V}\le -{\left[\begin{array}{c}\Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert \\ \Vert \tilde{\sigma }\Vert \end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_o-n{k}_c& -\delta n{k}_c\Vert w\Vert /2\\ -\delta n{k}_c\Vert w\Vert /2& \delta k_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Vert \tilde{\mathbf{x}}\Vert \\ \Vert \tilde{\sigma }\Vert \end{array}\right](16)$$
则$\dot{V}$负定，如果${\lambda }_o=k_o{\lambda }_m>n{k}_c$，即$k_o>n{k}_c/{\lambda }_m$，且
$$\delta <4\frac{k_o{\lambda }_m-n{k}_c}{n^2{k}_c\Vert w{\Vert }^2}.$$
此时(16)中间的矩阵正定，说明系统指数稳定。

MATLAB仿真

这里简单做了下仿真，蓝色圆圈(bo)是智能体状态，红色圆圈(ro)是质心参考轨迹，蓝色方块(bs)是智能体加权质心，其他同色菱形(d)是所有智能体对某一智能体状态的估计。

仿真结果如图所示。

MATLAB代码和以前一样上传到我的GitHub项目paper-simulation，运行“weighted_centroid_tracking.m”即可。

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1. G. Antonelli, F. Arrichiello, F. Caccavale, and A. Marino, “A decentralized controller-observer scheme for multi-agent weighted centroid tracking,” IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 58, no. 5, pp. 1310–1316, May 2013. ↩︎