Sweet Snippet 之 计算逆序数

本文简单介绍了几种计算逆序数的实现方法

简介

所谓逆序数,是指一个排列中所有逆序对的总数,而所谓逆序对,则是指排列中前后位置和大小顺序相反的数对,举个简单的例子:

{ 1 , 4 , 2 , 3 } \{\ 1, 4, 2, 3 \ \} { 1,4,2,3 }

上面的排列中,有下面两个逆序对:

$$<4,2><4,3>$$

所以该排列的逆序数为 2

实现

• 朴素的实现很简明,我们遍历排列中所有的数对,检查是否形成逆序关系即可,示例代码如下(Lua):

function inverse_number(seq)local inv_num = 0for i = 1, #seq - 1 dofor j = i + 1, #seq doif seq[i] > seq[j] theninv_num = inv_num + 1endendendreturn inv_num
end

• 上面的方法虽然简明,但是时间复杂度相对较高($O(n^2)$),这里我们假设排列中元素种类很少(譬如只有 $1,2,3,4$),那么更有效率的一种实现方法就是依次遍历排列元素,对于每一个遍历到的元素而言,该元素之前所有比他(该元素)大的元素,与该元素便形成了一个逆序对(即逆序数增一),依此我们便可以累加计算出排列的逆序数(Lua):

-- assume seq contains "1, 2, 3, 4" only
function inverse_number(seq)local inv_num = 0local count_buffer = { 0, 0, 0, 0 }for i = 1, #seq doif seq[i] == 1 theninv_num = inv_num + count_buffer[2] + count_buffer[3] + count_buffer[4]count_buffer[1] = count_buffer[1] + 1elseif seq[i] == 2 theninv_num = inv_num + count_buffer[3] + count_buffer[4]count_buffer[2] = count_buffer[2] + 1elseif seq[i] == 3 theninv_num = inv_num + count_buffer[4]count_buffer[3] = count_buffer[3] + 1elsecount_buffer[4] = count_buffer[4] + 1endendreturn inv_num
end

• 上面代码的时间复杂度虽然比较高效($O(n)$),但是通用性不高(限制了排列元素种类),我们可以简单扩展一下(Lua):

function inverse_number(seq)local inv_num = 0local count_buffer = {}for i = 1, #seq dofor k, v in pairs(count_buffer) doif k > seq[i] theninv_num = inv_num + vendendcount_buffer[seq[i]] = (count_buffer[seq[i]] or 0) + 1endreturn inv_num
end

• 实际上而言,上面实现的时间复杂度也是$O(n^2)$,但在元素种类受限的排列中,使用该实现来求取逆序数的速度仍是非常快的,另外的,我们还可以借用树状数组来进一步加速,有兴趣的朋友可以继续看看更多资料里的内容.

更多资料

• 逆序数的求法
• 求取一维数组中的逆序数