傅里叶变换
如果你了解空间坐标系，那么这篇文章对你了解傅里叶变换会有一些帮助。
傅里叶级数
空间的基本知识
假设一个任意维度n的空间的内积为 < f , g > <f,g> <f,g>，它的一组基底为 x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , ⋯ , x n ⃗ \vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n} x1,x2,⋯,xn。现在对于任意一个向量 y ⃗ \vec{y} y。如果上述基底是正交的，那么我们可以将其分解成
y ⃗ = ∑ k = 0 n c k ⋅ x k ⃗ \vec{y}=\sum_{k=0}^{n}{c_k\cdot\vec{x_k}} y=k=0∑nck⋅xk
其中：
c k = < x k ⃗ , y ⃗ > < x k ⃗ , x k ⃗ > c_k=\frac{<\vec{x_k},\vec{y}>}{<\vec{x_k},\vec{x_k}>} ck=<xk,xk><xk,y>
为了方便理解，我们以常见的三维欧氏空间（也就是我们常用的坐标空间）为例：
常用的正交基底向量为x、y、z轴对应的单位向量 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i},\vec{j},\vec{k} i,j,k。取任意两个向量 x 1 ⃗ = a 1 i ⃗ + b 1 j ⃗ + c 1 k ⃗ ⇔ ( a 1 , b 1 , c 1 ) 、 x 2 ⃗ = a 2 i ⃗ + b 2 j ⃗ + c 2 k ⃗ ⇔ ( a 2 , b 2 , c 2 ) \vec{x_1}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k}\Leftrightarrow(a_1,b_1,c_1)、 \vec{x_2}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}\Leftrightarrow(a_2,b_2,c_2) x1=a1i+b1j+c1k⇔(a1,b1,c1)、x2=a2i+b2j+c2k⇔(a2,b2,c2)。
欧氏空间上的内积定义为乘法（不同的正交基的内积为0）：
< x 1 ⃗ , x 2 ⃗ > = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 <\vec{x_1},\vec{x_2}>=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 <x1,x2>=a1a2+b1b2+c1c2
任取一个向量 v ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ \vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} v=xi+yj+zk。它可以表示为：
v ⃗ = < v ⃗ , i ⃗ > < i ⃗ , i ⃗ > i ⃗ + < v ⃗ , j ⃗ > < j ⃗ , j ⃗ > j ⃗ + < v ⃗ , k ⃗ > < k ⃗ , k ⃗ > k ⃗ \vec{v}=\frac{<\vec{v},\vec{i}>}{<\vec{i},\vec{i}>}\vec{i}+ \frac{<\vec{v},\vec{j}>}{<\vec{j},\vec{j}>}\vec{j}+ \frac{<\vec{v},\vec{k}>}{<\vec{k},\vec{k}>}\vec{k} v=<i,i><v,i>i+<j,j><v,j>j+<k,k><v,k>k
三角级数形式
可以证明定义在内积
< f ( t ) , g ( t ) > = 1 T ∫ t 0 − T 2 t 0 + T 2 ( f ( t ) ⋅ g ( t ) ) d t <f(t),g(t)>=\frac{1}{T}\int_{t_0-\frac{T}{2}}^{t_0+\frac{T}{2}}{(f(t)\cdot g(t))dt} <f(t),g(t)>=T1∫t0−2Tt0+2T(f(t)⋅g(t))dt
上的函数空间的一组完备正交基为 ( 1 , cos ω t , sin ω t , cos 2 ω t , sin 2 ω t , ⋯ ) (1,\cos{\omega t},\sin{\omega t},\cos{2\omega t},\sin{2\omega t},\cdots) (1,cosωt,sinωt,cos2ωt,sin2ωt,⋯)。特别地取 t 0 = 0 t_0=0 t0=0
所以一切该空间中的函数 h ( t ) h(t) h(t)必然可以分解成
h ( t ) = c 0 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k ω t + b k sin k ω t ) h(t)=c_0+\sum_{k=1}^{\infty}{(a_k\cos{k\omega t}+b_k\sin{k\omega t})} h(t)=c0+k=1∑∞(akcoskωt+bksinkωt)
其中：
c 0 = < f ( t ) , 1 > < 1 , 1 > = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) ⋅ 1 d t 1 T ∫ − T 2 + T 2 1 ⋅ 1 d t = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) d t c_0=\frac{<f(t),1>}{<1,1>}= \frac{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)\cdot 1dt}} {\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{1\cdot 1dt}}= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)dt} c0=<1,1><f(t),1>=T1∫−2T+2T1⋅1dtT1∫−2T+2Th(t)⋅1dt=T1∫−2T+2Th(t)dt
a k = < f ( t ) , cos k ω t > < cos k ω t , cos k ω t > = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) cos k ω t d t 1 T ∫ − T 2 + T 2 cos k ω t ⋅ cos k ω t d t = 2 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) cos k ω t d t a_k=\frac{<f(t),\cos{k\omega t}>}{<\cos{k\omega t},\cos{k\omega t}>}= \frac{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)\cos{k\omega t}dt}} {\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{\cos{k\omega t}\cdot \cos{k\omega t}dt}}= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)\cos{k\omega t}dt} ak=<coskωt,coskωt><f(t),coskωt>=T1∫−2T+2Tcoskωt⋅coskωtdtT1∫−2T+2Th(t)coskωtdt=T2∫−2T+2Th(t)coskωtdt
b k = < f ( t ) , sin k ω t > < sin k ω t , sin k ω t > = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) sin k ω t d t 1 T ∫ − T 2 + T 2 sin k ω t ⋅ sin k ω t d t = 2 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) sin k ω t d t b_k=\frac{<f(t),\sin{k\omega t}>}{<\sin{k\omega t},\sin{k\omega t}>}= \frac{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)\sin{k\omega t}dt}} {\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{\sin{k\omega t}\cdot \sin{k\omega t}dt}}= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)\sin{k\omega t}dt} bk=<sinkωt,sinkωt><f(t),sinkωt>=T1∫−2T+2Tsinkωt⋅sinkωtdtT1∫−2T+2Th(t)sinkωtdt=T2∫−2T+2Th(t)sinkωtdt
指数形式
我们引入复数域函数： cos x = e j x + e − j x 2 \cos{x}=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2} cosx=2ejx+e−jx、 sin x = e j x − e − j x 2 j \sin{x}=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j} sinx=2jejx−e−jx代入三角级数形式。
h ( t ) = c 0 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k ω t + b k sin k ω t ) h(t)=c_0+\sum_{k=1}^{\infty}{(a_k\cos{k\omega t}+b_k\sin{k\omega t})} h(t)=c0+k=1∑∞(akcoskωt+bksinkωt)
⇒ h ( t ) = e 0 ω t + ∑ k = 1 ∞ ( a k e j k ω t + e − j k ω t 2 + b k e j k ω t − e − j k ω t 2 j ) \Rightarrow h(t)=e^{0\omega t}+\sum_{k=1}^{\infty}{(a_k\frac{e^{jk\omega t}+e^{-jk\omega t}}{2}+b_k\frac{e^{jk\omega t}-e^{-jk\omega t}}{2j})} ⇒h(t)=e0ωt+k=1∑∞(ak2ejkωt+e−jkωt+bk2jejkωt−e−jkωt)
= e 0 ω t + ∑ k = 1 ∞ ( a k − j b k 2 e j k ω t + a k + j b k 2 e − j k ω t ) =e^{0\omega t}+\sum_{k=1}^{\infty}{(\frac{a_k-jb_k}{2}e^{jk\omega t}+\frac{a_k+jb_k}{2}e^{-jk\omega t})} =e0ωt+k=1∑∞(2ak−jbkejkωt+2ak+jbke−jkωt)
= ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω t =\sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_k e^{jk\omega t}} =k=−∞∑∞ckejkωt
其中： c 0 = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) d t , c_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)dt}, c0=T1∫−2T+2Th(t)dt,
c k = a k − j b k 2 = 2 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) 2 ( cos k ω t − j sin k ω t ) d t c_k=\frac{a_k-jb_k}{2}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}\frac{h(t)}{2}{(\cos{k\omega t}-j\sin{k\omega t})dt} ck=2ak−jbk=T2∫−2T+2T2h(t)(coskωt−jsinkωt)dt
= 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) e − j k ω t d t ( k = ± 1 , ± 2 , ⋯ ) =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)e^{-jk\omega t}dt} (k=\pm1,\pm2,\cdots) =T1∫−2T+2Th(t)e−jkωtdt(k=±1,±2,⋯)
我们可以发现，我们可以统一 c 0 , c k ( k = 1 , 2 , ⋯ ) c_0,c_k(k=1,2,\cdots) c0,ck(k=1,2,⋯)的形式。我们关心这个空间上的坐标值，也就是 c k c_k ck的值。我们将
c k = 1 T ∫ − T 2 + T 2 h ( t ) e − j k ω t d t ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) c_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}{h(t)e^{-jk\omega t}dt} (k=0,\pm1,\pm2,\cdots) ck=T1∫−2T+2Th(t)e−jkωtdt(k=0,±1,±2,⋯)称为傅里叶级数。这个公式为我们推导出傅里叶变换提供了基础。
从傅里叶级数到傅里叶变换
我们考虑周期为 T T T，脉冲宽度为 τ ( τ < T ) \tau(\tau<T) τ(τ<T)的周期方形脉冲序列。我们固定 τ \tau τ不变，将T进行拉伸。
对于傅里叶级数的系数：
F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e j n Ω t F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{ f(t)e^{jn\Omega t}} Fn=T1∫−2T2Tf(t)ejnΩt
我们把求频谱密度函数的过程称为“傅里叶变换”。需要注意的是，我们在这里的举例——矩形脉冲序列是特殊的例子（一个脉冲的长度是固定的）。这也是为什么我们把积分上下限拓宽成 − ∞ → + ∞ -\infty\to+\infty −∞→+∞而不是固定长度 − τ 2 → τ 2 -\frac{\tau}{2}\to\frac{\tau}{2} −2τ→2τ不变的缘故。
对于更平凡的例子——无限长，非周期的信号。我们也是把它当作周期无限长的信号，只不过它的信号在单个周期内不具备有限非零长度罢了。
- 傅里叶变换的推导，暂时搁置。
- 于2020/11/14完成
双边谱和单边谱
单边谱：我们在三角函数的基础上，进行和差公式的反应用得到的包含幅值-角度的傅里叶级数。得到的只有正半部分的频谱图称为“单边谱”
双边谱：我们在三角函数的基础上，引入欧拉公式，得到的具有更整洁的形式的指数型傅里叶变换。得到的既有正又有负
示例分析
示例1
对于周期信号的傅里叶级数,如果使用双边级数谱和傅里叶双边变换：有：
f T ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F n e j n Ω t ↔ F T ( ω ) = 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ F n δ ( ω − n Ω ) f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{F_ne^{jn\Omega t}}\leftrightarrow F_T(\omega)=2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{F_n\delta(\omega-n\Omega)} fT(t)=n=−∞∑+∞FnejnΩt↔FT(ω)=2πn=−∞∑+∞Fnδ(ω−nΩ)