扩展欧几里得求逆元、中国剩余定理

2024年4月6日 互联网

 

中国剩余定理板子

​#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 30;
LL a[N],m[N];// 扩展欧几里得 求 逆元 
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){if(b == 0){x = 1; y = 0;return;}else{exgcd(b,a%b,x,y);int t = x;x = y;y = t-(a/b)*y;}
} // a[i] 为 余数 ， m[i] 为 对 m[i] 取余 
LL CRT(LL a[],LL m[], LL n){LL x,y,M = 1;for(int i = 0; i < n; ++i) M *= m[i]; // m[i] 乘积 LL ret = 0;for(int i = 0; i < n; ++i){LL Mi = M/m[i];exgcd(Mi,m[i],x,y);ret = (ret + a[i]*x*Mi)%M;  //  注意 这位置不能 ret +=  }return (ret+M)%M; // 注意 x可能为 负值 需要 + M 取模 得到正值 
}int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i = 0; i < n; ++i){scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);}LL ans = CRT(a,m,n);printf("%d\n",ans);return 0;}
​

参考： https://blog.csdn.net/u010468553/article/details/38346195  剩余定理

 

参考 大神的 证明 ：点击打开链接

 

 

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

 

#include<cstdio>int exgcd(int a,int b,int &x, int &y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}else{int d = exgcd(b,a%b,x,y);//求出下一步的xn,yn int t = x;x = y;//给到上一步的xn-1,yn-1: xn-1 = yn  , yn-1 = xn-a/b*yn y = t-a/b*y;return d;}}
int main(){int a = 47,b = 30;int x1,y1;int r = exgcd(a,b,x1,y1);printf("%d %d",x1,y1);return 0;	}

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